Me regalaron una planta de menta y cuando me la dieron estaba bien, pero ahora me estoy fijando en que en las hojas de abajo la salen manchas marrones y se caen y estan algo lacias.

Desde que me la dieron solo la regue una vez (hace casi dos semanas que la tengo) y creo que me pase un poco con el agua

¿A que son debidas las manchas en las hojas?

Hola lixore,
No tengo mucha experiencia con la menta, pero ahí va eso. Si tienes manchas de color anaranjado y como de terciopelo, es roya, quizás alguna especie de Puccinia, no estoy esgura. En todo caso es un hongo.
Si las hojas viejas amarillean y se caen es posible que sea debido, si las regaste mucho y el tiesto no drena bien, a que se mueran por anoxia, es decir se ahogan porqué les falta oxígeno.
Normalmente, y esto es de manera muy general, las plantas suelen morirse más por exceso de riego que por otra cosa. Se tiende a regar demasiado y lo que hacemos es que la planta sufra de la raíz.
Espero haver podido ayudarte
saludos